§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
Теорема
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. |
Доказательство
1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС (рис. 127, а). Докажем, что ∠C > ∠B.
Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 127,6). Так как AD < AB, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С, и, значит, ∠C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠2 > ∠B. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠C > ∠1, ∠1=∠2, ∠2 > ∠B. Отсюда следует, что ∠C > ∠B.
2) Пусть в треугольнике ABC ∠C > ∠B. Докажем, что АВ > АС.
Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ < АС. В первом случае треугольник АВС — равнобедренный, и, значит, ∠C = ∠B. Во втором случае ∠B > ∠C (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: ∠C > ∠B. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Теорема доказана.
Следствие 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. |
В самом деле, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.
Следствие 2
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника). |
Докажем этот признак. Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против неё, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).
Итак, в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник — равнобедренный.
34 Неравенство треугольника
Теорема
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. |
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что АВ < АС + СВ. Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный стороне СВ (рис. 128). В равнобедренном треугольнике BCD ∠1 = ∠2, а в треугольнике ABD ∠ABD> ∠1 и, значит, ∠ABD > ∠2.
Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то АВ < AD. Но AD = АС + CD = АС + СВ, поэтому АВ < АС + СВ. Теорема доказана.
Следствие
Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА+ АС. |
Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.
Comments