3. Прямоугольныйе треугольники

35. Некоторые свойства прямоугольных треугольников 

Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников, которые устанавливаются с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

1) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90

В самом деле, сумма углов треугольника равна 180, а прямой угол равен 90, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90.

2) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половин Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол А — прямой, ∠B = 30° и, значит, ∠C = 60° (рис. 131, а). Докажем, что .

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 131, б. Получим треугольник BCD, в котором ∠B = ∠D = 60°, поэтому DC = BC. Но . Следовательно, , что и требовалось доказать. е гипотенузу

30. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС (рис. 132, а). Докажем, что ∠ABC = 30°.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 132, б. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (объясните почему), поэтому каждый из них равен 60°. В частности, ∠DBC = 60°. Но ∠DBC = 2∠ABC. Следовательно, ∠ABC = 30°, что и требовалось доказать.

36 .Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Доказательство

Из свойства 10 п. 35 следует, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам. Теорема доказана.

Теорема

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники АBС и А1B1С1, у которых углы С и C1 — прямые, АB = А1B1, BС = B1С1 (рис. 133, а, б). Докажем, что АВС = A1B1C1

Так как ∠C = ∠Csub>1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1B1С1 так, что вершина С совместится с вершиной С1, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С1А1 и С1B1. Поскольку СB = С1B1, то вершина B совместится с вершиной B1. Но тогда вершины А и А1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А2 луча С1А1, то получим равнобедренный треугольник А1В1А2, в котором углы при основании А1А2 не равны (на рисунке 133, б ∠A2 — острый, a ∠A1 — тупой как смежный с острым углом В1А1С1). Но это невозможно, поэтому вершины А и А1 совместятся.

Следовательно, полностью совместятся треугольники АВС и А1В1С1, т. е. они равны. Теорема доказана.

 Уголковый отражатель

Мы знаем, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Это свойство лежит в основе конструкции простейшего уголкового отражателя. Прежде чем описать его устройство, рассмотрим следующую задачу.

Задача

Угол между зеркалами ОА и ОВ равен 90°. Луч света, падающий на зеркало ОА под углом α, отражается от него, а затем отражается от зеркала ОВ (рис. 134). Доказать, что падающий и отражённый лучи параллельны.

    Решение

    По закону отражения света падающий луч SM и луч MN составляют с прямой ОА равные углы α. Так как треугольник MON прямоугольный, то угол MNO равен 90° - α. Применяя опять закон отражения света, получаем, что луч MN и отражённый луч NT составляют с прямой ОВ равные углы. Обращаясь к рисунку 134, мы видим, что ∠SMN = 180° - 2α, ∠MNT = 180° - 2 (90° - α) = 2α, поэтому ∠SMN + ∠MNT = 180°.

    Следовательно, падающий луч SM и отражённый луч NT параллельны, что и требовалось доказать.

    Простейший уголковый отражатель представляет собой несколько зеркал, составленных так, что соседние зеркала образуют угол в 90°. На рисунке 135 в виде ломаной линии схематически изображён такой отражатель. Представим себе, что на этот отражатель падает пучок параллельных лучей (на рисунке эти лучи изображены чёрными линиями со стрелками). Тогда отражённые лучи будут параллельны падающим лучам (эти лучи изображены цветными линиями со стрелками). Таким образом, уголковый отражатель «возвращает назад» падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.

      Это свойство уголкового отражателя используется в технике. Так, уголковый отражатель устанавливается на заднем крыле велосипеда для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар. Это даёт возможность водителю автомобиля видеть ночью идущий впереди велосипед. Отметим, что уголковый отражатель, используемый на практике, устроен более сложно, чем описанный простейший, но принцип его действия тот же, что и у простейшего уголкового отражателя.

      Уголковый отражатель был установлен на одной из отечественных автоматических станций, запущенных на Луну. С поверхности Земли участок Луны, на котором находилась автоматическая станция с уголковым отражателем, был освещён лучом лазера. Луч «вернулся» в то же место, где находился лазер. Измерив точное время от момента включения лазера до момента возвращения сигнала, удалось с весьма высокой точностью найти расстояние от поверхности Земли до поверхности Луны.

       

      Comments

      No comments made yet. Be the first to submit a comment
      Already Registered? Login Here
      Guest
      Четверг, 28 марта 2024