ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Параллельность прямых a и b обозначают так:a||b
На рисунке изображены прямые a и b перпендикулярные к прямой c. в п. 12 мы установили, что такие прямые a и b не пересекаются, т. е. они параллельны.
Теорема
| Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. |
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2 Докажем, что а || b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 101, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.(рис. 101, а).
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.
Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 101, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН1, равный отрезку АН, как показано на рисунке 101, в, и проведём отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН1В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН = ВН1, ∠1 = ∠2), поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 — прямой (так как угол 5 — прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой HH1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.
Теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельные.
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1 + ∠4 = 180° (см. рис. 102).
Так как углы 3 и 4 — смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.
Практические способы построения параллельных прямых.
Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертёжный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами α и β, равны.
