Признаки параллельности двух прямых

​Определение :

Две прямые на плоскости называются параллельны , если они не пересекаются 

параллельные прямых a и b обозначают  так : a || b.

​Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

​Теорема:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны .

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны : <1=<2 .

Докажем, что a || b . Если углы 1 и 2 прямые , то  прямые a и b перпендикулярны к прямой  AB и , следовательно, параллельны.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1 + ∠4 = 180° (см. рис. 102).

Так как углы 3 и 4 — смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

​Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 101, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН₁, равный отрезку АН, как показано на рисунке 101, в, и проведём отрезок ОН₁. Треугольники ОНА и ОН₁В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН = ВН₁, ∠1 = ∠2), поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка Н₁ лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н₁ лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 — прямой (так как угол 5 — прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой HH₁ поэтому они параллельны. Теорема доказана

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1 =∠2 (рис. 102).

Так как углы 2 и 3 — вертикальные, то ∠2 = ∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1 = ∠3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки. 

Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертёжный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами α и β, равны.

На рисунке 104 показан способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертёжной практике.

 Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скреплённые шарниром, рис. 105).