Сумма углов треугольника

теорема о сумме углов треугольника

Докажем одну из важнейших теорем геометрии- теорему о сумме углов треугольника.

 ТЕОРЕМА

Сумма углов треугольника равна 180

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что 

<A+<В+<С=180.

Проведем через ширину В прямую a, параллельную стороне АС ( рис. 125  a ). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых a и AC секущей АВ,  а углы 3 и 5- накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому

<4=<1, <5=<3.

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна углу с вершиной В, т. е. <4+<2+<5=180. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: <1+<2+<3=180, или <A+<B+<C=180.Теорема доказана.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Обратимся к рисунку 125, б, на котором угол 4 — внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника. Так как ∠4 + ∠3 = 180°, а по теореме о сумме углов треугольника (∠1+ ∠2) + ∠3 = 180°, то ∠4 = ∠1 + ∠2, что и требовалось доказать.

32 Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники 

 Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух других углов не превосходит 90°, и поэтому каждый из них острый. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рис. 126, а). Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным (рис. 126, б). Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. На рисунке 126, в изображён прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.