Признаки параллельности двух прямых

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначают так:a||b

На рисунке изображены прямые a и b  перпендикулярные к прямой c. в п. 12 мы установили, что такие прямые a и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2 Докажем, что а || b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 101, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.(рис. 101, а).

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 101, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН1, равный отрезку АН, как показано на рисунке 101, в, и проведём отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН1В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН = ВН1, ∠1 = ∠2), поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 — прямой (так как угол 5 — прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой HH1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема:

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельные.

Доказательство

    Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1 + ∠4 = 180° (см. рис. 102).

    Так как углы 3 и 4 — смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

 Практические способы построения параллельных прямых.

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертёжный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами α и β, равны.

    На рисунке 104 показан способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертёжной практике.
      Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скреплённые шарниром, рис. 105).
         

        Comments

        No comments made yet. Be the first to submit a comment
        Already Registered? Login Here
        Guest
        Пятница, 26 апреля 2024